Два тела массы \(m_1\) и \(m_2\) имеют внутреннюю энергию \(W_1\) и \(W_2\) и скорость центров масс \(V_1\) и \(V_2\). Какова внутренняя энергия системы этих двух тел, если потенциальной энергией взаимодействия их между собой можно пренебречь? Изменится ли эта энергия после столкновения их друг с другом и последующего разлёта?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Считаем. Полная энергия системы
\[ E = W_1 + \frac{m_1V_1^2}{2} + W_2 + \frac{m_2V_2^2}{2}. \]Для двух тел кинетическая энергия раскладывается (теорема 2.4.23) как
\[ \frac{m_1V_1^2}{2} + \frac{m_2V_2^2}{2} = \frac{(m_1+m_2)V^2}{2} + \frac{\mu\,(V_1-V_2)^2}{2}, \qquad \mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}, \]где \(V\) — скорость общего центра масс. Вычитая \((m_1+m_2)V^2/2\), получаем
\[ W = W_1 + W_2 + \frac{m_1m_2\,(V_1-V_2)^2}{2\,(m_1+m_2)}. \]То есть к «собственным» энергиям тел добавляется энергия их взаимного движения — та самая, что записывается через приведённую массу.
Изменится ли после столкновения? Нет. Система замкнута: полная энергия сохраняется, скорость общего центра масс тоже не меняется, значит, не меняется и их разность \(W\). Столкновение лишь перераспределяет её: энергия взаимного движения частично (или полностью) переходит в собственные внутренние энергии тел \(W_1\) и \(W_2\), то есть в нагрев и деформации.