Задача 2.4.32почему неупругий удар — рекордсмен
Условие
Докажите, что при абсолютно неупругом ударе происходит наибольшее увеличение суммарной внутренней энергии сталкивающихся тел. Предполагается, что в начальном и конечном состояниях потенциальной энергией взаимодействия тел между собой можно пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
По предыдущей задаче вся «доступная» энергия — это энергия относительного
движения. В тепло может уйти ровно столько, сколько её исчезло, — а исчезнуть
больше, чем вся, она не может.
Что можно потратить. Из задачи 2.4.31 суммарная внутренняя энергия системы
\[ W = W_1 + W_2 + \frac{\mu\,v_{\text{отн}}^2}{2}, \qquad \mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}, \]и при столкновении она сохраняется. Значит, прирост собственных внутренних энергий тел равен убыли энергии относительного движения:
\[ \Delta(W_1 + W_2) = \frac{\mu}{2}\Bigl(v_{\text{отн}}^2 - v_{\text{отн}}'^{\,2}\Bigr). \]Максимум. Правая часть тем больше, чем меньше конечная относительная скорость \(v'_{\text{отн}}\). Меньше нуля она быть не может, а нулю равна ровно тогда, когда тела после удара движутся вместе — то есть при абсолютно неупругом ударе. Тогда
\[ \Delta(W_1+W_2)_{\max} = \frac{\mu\,v_{\text{отн}}^2}{2} = \frac{m_1m_2\,(V_1-V_2)^2}{2(m_1+m_2)}. \]Проверка. При абсолютно упругом ударе
\(v'_{\text{отн}} = v_{\text{отн}}\) и прирост нулевой ✓ — другой крайний
случай. Промежуточные удары описывают коэффициентом восстановления
\(e = v'_{\text{отн}}/v_{\text{отн}}\), и тогда
\(\Delta W = \tfrac{\mu v_{\text{отн}}^2}{2}\,(1-e^2)\) ✓ — формула честно
интерполирует между двумя крайностями.
Ответ
В тепло переходит \( \tfrac{\mu}{2}\bigl(v_{\text{отн}}^2 - v_{\text{отн}}'^{\,2}\bigr) \),
и это максимально при \(v'_{\text{отн}} = 0\), то есть при абсолютно неупругом
ударе; максимум равен \( \dfrac{m_1m_2\,(V_1-V_2)^2}{2(m_1+m_2)} \).