В сферической чаше радиуса \(R\) удерживают гантель в положении, когда один из шариков находится на дне чаши, а затем отпускают. Какое количество теплоты выделится к моменту, когда гантель прекратит своё движение из-за малого трения между чашей и гантелью? Длина гантели \(l\), масса каждого шарика \(m\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Угол. Шарики лежат на сфере, и хорда между ними равна \(l\):
\[ \sin\theta = \frac{l}{2R},\qquad \cos\theta = \sqrt{1 - \frac{l^2}{4R^2}}. \]Конечное положение — симметричное: каждый шарик отклонён от дна на угол \(\theta\), то есть находится на высоте \(R(1-\cos\theta)\) над дном. Центр масс — там же:
\[ h_{\text{кон}} = R\,(1 - \cos\theta). \]Начальное положение. Один шарик на дне (высота 0), второй отклонён на \(2\theta\), то есть на высоте \(R(1-\cos 2\theta) = 2R\sin^2\theta\). Центр масс — посередине:
\[ h_{\text{нач}} = R\sin^2\theta. \]Тепло — это опускание центра масс, умноженное на полный вес \(2mg\):
\[ Q = 2mg\bigl(h_{\text{нач}} - h_{\text{кон}}\bigr) = 2mgR\bigl(\sin^2\theta - 1 + \cos\theta\bigr) = 2mgR\,\cos\theta\,(1 - \cos\theta). \] \[ Q = 2mgR\left(1 - \sqrt{1 - \frac{l^2}{4R^2}}\right)\sqrt{1 - \frac{l^2}{4R^2}}. \]