Задача 2.4.38корабль вдвое быстрее
Условие
Сила сопротивления, действующая на корабль в воде, пропорциональна квадрату его скорости. Во сколько раз нужно увеличить мощность двигателя того же корабля, чтобы скорость движения возросла вдвое?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Мощность — это сила на скорость. Если сила растёт как \(v^2\), то мощность —
как \(v^3\).
При равномерном ходе тяга уравновешивает сопротивление, \(F = cv^2\), и
\[ N = F v = c\,v^3. \]Поэтому при удвоении скорости
\[ \frac{N_2}{N_1} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^3 = 2^3 = 8. \]Проверка. Кубический закон — причина, по которой
скорость судов растёт так неохотно: чтобы прибавить каких-нибудь 25 %, нужно
почти вдвое более мощная машина (\(1{,}25^3 \approx 1{,}95\)) ✓. Он же
объясняет, почему рекордные скорости достаются такой ценой.
Ответ
В 8 раз.