Автомобиль массы \(m\) трогается с места. Коэффициент трения колёс о дорогу
\(\mu\). Обе оси автомобиля ведущие. Найдите зависимость скорости автомобиля от
времени. Мощность двигателя \(N\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Вначале мешает не двигатель, а сцепление с дорогой: больше \(\mu mg\) колёса не
протолкнут. Но по мере разгона нужная для этой силы мощность растёт, и в
какой-то момент двигатель выходит на полную — дальше командует он.
Прямая гладко переходит в параболу.
Первый этап: держит сцепление. Сила тяги не может превысить
\(\mu mg\) (обе оси ведущие, значит, работает весь вес). Максимальный разгон
\[ a = \mu g,\qquad v = \mu g t. \]
Мощность, нужная для этого, растёт: \(P = \mu mg\cdot v = m\mu^2g^2t\).
Она достигает \(N\) в момент
Второй этап: держит мощность. Теперь двигатель отдаёт всё, что может,
и вся его работа идёт в кинетическую энергию (буксования нет, трение работы не
совершает):
Проверка. В точке сшивки \(t = t_0\) вторая формула
даёт \(v^2 = 2Nt_0/m - N^2/(m^2\mu^2g^2) = N^2/(m^2\mu^2g^2) = v_0^2\) ✓ —
скорость непрерывна. При \(\mu \to \infty\) (идеальное сцепление) \(t_0 \to 0\),
и остаётся чистое \(v = \sqrt{2Nt/m}\) ✓ — знакомый закон разгона при
постоянной мощности. При больших \(t\) ускорение убывает как \(1/v\) ✓.
Ответ
\( v = \mu g t \) при \( t \le t_0 = \dfrac{N}{m\mu^2g^2} \);
\( v = \sqrt{\dfrac{2N}{m}\left(t - \dfrac{N}{2m\mu^2g^2}\right)} \) при \( t > t_0 \).