При равномерном подъёме груза массы \(m\) угловая скорость вала двигателя подъёмника \(\omega = \omega_0(1 - m/m_0)\), где \(\omega_0\) — угловая скорость вала при отсутствии груза, а \(m_0\) — масса наиболее тяжёлого груза, который можно поднять на этом подъёмнике. Как зависит полезная мощность подъёмника от угловой скорости вала? Какими порциями нужно поднимать груз, чтобы за определённое время поднять на некоторую высоту груз наибольшей массы?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Мощность через \(\omega\). Скорость подъёма пропорциональна угловой скорости вала, \(v = R\omega\) (для краткости положим \(R = 1\)). Из условия выражаем массу:
\[ m = m_0\Bigl(1 - \frac{\omega}{\omega_0}\Bigr). \]Полезная мощность — мощность подъёма груза:
\[ N = mg\,v = m_0g\,\omega\Bigl(1 - \frac{\omega}{\omega_0}\Bigr). \]Максимум. Это парабола с нулями при \(\omega = 0\) и \(\omega = \omega_0\), значит, вершина посередине:
\[ \omega = \frac{\omega_0}{2},\qquad N_{\max} = \frac{m_0g\,\omega_0}{4},\qquad m = \frac{m_0}{2}. \]Ответ на второй вопрос. Чтобы за отведённое время поднять как можно больше груза, надо всё время работать на максимальной полезной мощности, то есть поднимать порциями по \(m_0/2\).