Подъёмник из предыдущей задачи переоборудовали, присоединив вал двигателя к барабану не непосредственно, а через зубчатую передачу. Насаженная на вал двигателя шестерня имеет \(n_1\) зубцов; зубчатое колесо, жёстко соединённое с барабаном, имеет \(n_2\) зубцов. При какой массе поднимаемого груза достигается максимальная полезная мощность подъёмника? Потерями мощности в передаче пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Что изменилось. Барабан теперь вращается в \(n_1/n_2\) раза медленнее вала, зато момент на нём в \(n_2/n_1\) раз больше. Значит, предельный груз (тот, при котором вал останавливается) вырос:
\[ m_0' = m_0\,\frac{n_2}{n_1}. \]Сама характеристика двигателя не изменилась, поэтому связь по-прежнему линейная:
\[ \omega = \omega_0\Bigl(1 - \frac{m}{m_0'}\Bigr) = \omega_0\Bigl(1 - \frac{m\,n_1}{m_0\,n_2}\Bigr). \]Максимум мощности достигается там же, где и раньше, — при половине предельной нагрузки:
\[ m = \frac{m_0'}{2} = \frac{n_2\,m_0}{2n_1}. \]