Мощность автомобиля с электрическим двигателем зависит от угловой скорости вращения колёс по закону \(N = (A - B\omega)\omega\), \(N \geqslant 0\). Установившаяся скорость автомобиля на горизонтальном шоссе 70 км/ч. Без груза он может преодолевать подъёмы с углом наклона шоссе вплоть до \(45^\circ\). Какова установившаяся скорость автомобиля при подъёме с углом наклона шоссе \(30^\circ\)? Какие подъёмы он может преодолевать при массе груза, равной массе автомобиля?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сила тяги. Скорость пропорциональна угловой, \(v = R\omega\). Тогда
\[ F = \frac{N}{v} = \frac{(A - B\omega)\,\omega}{R\omega} = \frac{A}{R} - \frac{B}{R^2}\,v. \]Это убывающая прямая: при \(v = 0\) сила максимальна, \(F_0 = A/R\), а обращается в нуль при \(v_1 = RA/B\).
Что дают условия. На горизонтальном шоссе сопротивлением можно пренебречь, поэтому установившаяся скорость — та, где тяга исчезает: \(v_1 = 70\) км/ч. Предельный подъём \(45^\circ\) машина берёт «на пределе», то есть на нулевой скорости, где тяга наибольшая:
\[ F_0 = mg\sin 45^\circ = \frac{mg}{\sqrt2}. \]Подъём \(30^\circ\). Установившаяся скорость \(v_2\) — там, где тяга равна скатывающей силе:
\[ F_0\Bigl(1 - \frac{v_2}{v_1}\Bigr) = mg\sin 30^\circ = \frac{mg}{2}. \]Подставляя \(F_0 = mg/\sqrt2\), получаем
\[ 1 - \frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt2}{2} \quad\Longrightarrow\quad v_2 = v_1\Bigl(1 - \frac{\sqrt2}{2}\Bigr) \approx 0{,}29\cdot 70 \approx 20\ \text{км/ч}. \]С грузом. Масса удваивается, а наибольшая тяга остаётся прежней:
\[ \frac{mg}{\sqrt2} = 2mg\sin\alpha \quad\Longrightarrow\quad \sin\alpha = \frac{1}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{4}, \qquad \alpha \approx 21^\circ. \]