Струя воды плотности \(\rho\) сечения \(S\) с горизонтальной скоростью
\(v\) бьёт в лопасти водяного колеса, после удара стекая по лопасти вниз.
Найдите мощность этого водяного двигателя при угловой скорости вращения колеса
\(\omega\). Радиус колеса \(R\). Число лопастей достаточно большое, так что
воздействие струи можно считать непрерывным, пренебрегая изменениями его при
входе лопасти в струю и при выходе из неё.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Удобно смотреть из системы отсчёта лопасти: она уходит со скоростью
\(u = \omega R\), значит, вода налетает на неё со скоростью \(v - u\) и после
удара теряет ровно эту скорость. Отсюда сразу и расход, и сила.
Догоняющая струя бьёт по лопасти с относительной скоростью
v − ωR.
Расход. Лопасть убегает со скоростью \(u = \omega R\), поэтому за
время \(\Delta t\) её догоняет столб воды длиной \((v-u)\,\Delta t\):
\[ q = \rho S\,(v - u). \]
Сила. В системе лопасти вода приходит со скоростью \(v-u\) и после
удара стекает вниз, то есть теряет всю горизонтальную скорость:
\[ F = q\,(v-u) = \rho S\,(v-u)^2. \]
Мощность — сила на скорость лопасти:
\[ N = F u = \rho S\,(v - \omega R)^2\,\omega R. \]
Проверка. Обе крайности дают нуль: у застопоренного
колеса (\(\omega = 0\)) сила есть, но она ничего не двигает; у «разогнанного»
(\(\omega R = v\)) струя не догоняет лопасти ✓. Максимум мощности — при
\(\omega R = v/3\), и он равен \(\tfrac{4}{27}\rho S v^3\), то есть
\(8/27 \approx 30\%\) от мощности струи \(\rho S v^3/2\) ✓ — известная оценка
КПД простого водяного колеса.
Ответ
\( N = \rho S\,(v - \omega R)^2\,\omega R \).