Водомётный катер движется по спокойной воде с постоянной скоростью \(v\).
Скорость выбрасываемой воды относительно катера равна \(u\). Определите КПД
двигателя катера. Что нужно в этом случае считать полезной мощностью?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Полезное — это тяга, помноженная на скорость катера. Потери — кинетическая
энергия, которую струя уносит с собой в воду. Больше катеру тратить не на что.
В неподвижной воде струя уходит назад со скоростью
u − v.
Тяга. Пусть \(q\) — масса воды, проходящей через водомёт за секунду.
В системе катера вода входит со скоростью \(v\) и выбрасывается со скоростью
\(u\), поэтому
\[ T = q\,(u - v). \]
Полезная мощность — та, что идёт на преодоление сопротивления воды,
то есть тяга на скорость катера:
\[ N_{\text{пол}} = T v = q\,(u-v)\,v. \]
Потери. В неподвижной воде выброшенная струя движется назад со
скоростью \(u - v\) (относительно катера — \(u\), а сам катер идёт вперёд со
скоростью \(v\)). Эта энергия просто уносится:
Проверка. При \(u \to v\) струя выходит из катера
почти неподвижной относительно воды, ничего не теряется и \(\eta \to 1\) ✓ —
правда, тяга при этом стремится к нулю, так что приходится гнать очень много
воды. При \(u \gg v\) КПД падает как \(2v/u\) ✓ — тонкая быстрая струя
расточительна. Отсюда общий вывод: винт большого диаметра экономичнее
маленького ✓.
Ответ
Полезная мощность — это \(Tv\), где \(T\) — тяга;
\( \eta = \dfrac{2v}{u+v} \).