Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.5. Столкновения

Савченко, задача 2.5.1

Задача 2.5.1обменялись скоростями

Условие

Два тела в результате столкновения обменялись скоростями, продолжая двигаться по одной и той же прямой. Каково отношение масс этих тел? Является ли их столкновение упругим?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Достаточно одного закона сохранения импульса: он сразу заставляет массы быть равными. А уж при равных массах обмен скоростями энергию автоматически сохраняет.

Скорости поменялись местами — значит, поменяться местами могли бы и сами тела.

Импульс. До удара \(m_1v_1 + m_2v_2\), после — \(m_1v_2 + m_2v_1\). Приравнивая,

\[ m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_2 + m_2v_1 \ \Longrightarrow\ (m_1-m_2)(v_1-v_2) = 0. \]

Столкновение вообще произошло, значит \(v_1 \ne v_2\), и остаётся

\[ m_1 = m_2. \]

Энергия. При равных массах

\[ \frac{m v_1^2}{2} + \frac{m v_2^2}{2} = \frac{m v_2^2}{2} + \frac{m v_1^2}{2}, \]

то есть кинетическая энергия сохранилась: удар упругий.

Проверка. Это знакомая картинка: шары одинаковой массы при центральном упругом ударе «обмениваются» скоростями — на этом построена игрушка «маятник Ньютона» ✓. Обратное тоже верно: у равных масс упругий центральный удар не может закончиться ничем иным ✓.

Ответ \( m_1/m_2 = 1 \); столкновение упругое.

Следующая задача 2.5.2 →