Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.5. Столкновения

Савченко, задача 2.5.2

Задача 2.5.2★ угол разлёта — прямой

Условие

На покоящийся шар налетает шар такой же массы. Найдите угол разлёта шаров после нецентрального упругого удара.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Импульс даёт векторное равенство, энергия — равенство квадратов. Возведите первое в квадрат и вычтите второе — останется одно скалярное произведение.

Треугольник импульсов с прямым углом: гипотенуза v, катеты — скорости после удара.

Два закона. Массы одинаковы, поэтому на \(m\) можно сократить:

\[ \vec v = \vec u_1 + \vec u_2 \quad(\text{импульс}),\qquad v^2 = u_1^2 + u_2^2 \quad(\text{энергия}). \]

Возводим первое в квадрат:

\[ v^2 = u_1^2 + 2\,\vec u_1\cdot\vec u_2 + u_2^2. \]

Сравнивая со вторым, получаем

\[ \vec u_1\cdot\vec u_2 = 0. \]

Удар нецентральный, значит, ни одна из скоростей не равна нулю, — а нулевое скалярное произведение двух ненулевых векторов означает, что они перпендикулярны:

\[ \alpha = 90^\circ. \]

Проверка. Геометрически это просто теорема Пифагора: треугольник со сторонами \(u_1\), \(u_2\) и \(v\), у которого \(v^2 = u_1^2+u_2^2\), обязан быть прямоугольным ✓. Предельный случай — центральный удар: тогда \(u_1 = 0\), шары «обмениваются» скоростями (задача 2.5.1), и говорить об угле разлёта уже не приходится ✓. На бильярде это правило знают все: после разреза биток и прицельный шар расходятся под прямым углом.

Ответ \( \alpha = 90^\circ \).

Следующая задача 2.5.3 →