Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.5. Столкновения

Савченко, задача 2.5.3

Задача 2.5.3центральный упругий удар

Условие

На неподвижный шар налетает со скоростью \(u\) шар, масса которого в \(k\) раз больше массы неподвижного шара. Найдите отношение скоростей шаров после центрального упругого удара к скорости \(u\). Постройте графики зависимости этих отношений от числа \(k\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Самый быстрый путь — перейти в систему центра масс: там при упругом ударе скорости просто меняют знак. Возврат в лабораторную систему даёт готовые формулы.

Обе кривые — гиперболы; при k = 1 они дают знакомый обмен скоростями.

Система центра масс. Массы \(km\) и \(m\), скорость центра масс

\[ V = \frac{km\,u}{km+m} = \frac{k}{k+1}\,u. \]

В этой системе налетающий шар имеет скорость \(u - V\), покоящийся — \(-V\), а суммарный импульс равен нулю. После удара импульсы по-прежнему противоположны, а сохранение энергии оставляет их модулям единственную нетривиальную возможность: обе скорости просто меняют знак (подробно этот шаг разобран в задаче 2.5.7).

Возвращаемся. Прибавляем \(V\) обратно:

\[ u_1 = V - (u - V) = 2V - u = \frac{k-1}{k+1}\,u,\qquad u_2 = V + V = 2V = \frac{2k}{k+1}\,u. \]

Что видно на графиках. При \(k = 1\) получается \(u_1 = 0\), \(u_2 = u\) — обмен скоростями. При \(k < 1\) величина \(u_1\) отрицательна: лёгкий налетающий шар отскакивает назад. При \(k \to \infty\) имеем \(u_1 \to u\) (тяжёлый шар почти не замечает препятствия) и \(u_2 \to 2u\) — предельная скорость, больше которой лёгкий шар получить не может.

Проверка. Импульс: \(k u_1 + u_2 = u(k(k-1)+2k)/(k+1) = u\,k(k+1)/(k+1) = ku\) ✓. Энергия: \(k u_1^2 + u_2^2 = u^2\bigl(k(k-1)^2 + 4k^2\bigr)/(k+1)^2 = u^2 k(k+1)^2/(k+1)^2 = ku^2\) ✓. При \(k\to 0\) выходит \(u_1 \to -u\) — лёгкий мячик отскакивает от стены с той же скоростью ✓.

Ответ \( \dfrac{u_1}{u} = \dfrac{k-1}{k+1} \); \( \dfrac{u_2}{u} = \dfrac{2k}{k+1} \).

Следующая задача 2.5.4 →