Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.5. Столкновения

Савченко, задача 2.5.10

Задача 2.5.10удар о гладкий шар

Условие

Частица массы \(m_1\) налетает на шар массы \(m_2\). Направление её движения составляет угол \(\alpha\) с нормалью к поверхности шара. Под каким углом к этой нормали отскочит от шара частица, если шар сначала покоился, а удар упругий?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Поверхность гладкая, значит, удар передаёт импульс только вдоль нормали. Поперечная составляющая скорости не меняется вовсе, а вдоль нормали происходит обычный одномерный упругий удар.

Гладкий шар «работает» только вдоль нормали.

Разложим скорость на нормальную и касательную составляющие:

\[ v_n = v\cos\alpha,\qquad v_\tau = v\sin\alpha. \]

Касательная не меняется: вдоль поверхности гладкий шар силы не передаёт,

\[ u_\tau = v\sin\alpha. \]

Нормальная испытывает одномерный упругий удар о покоящуюся массу \(m_2\) (задача 2.5.3):

\[ u_n = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,v\cos\alpha. \]

При \(m_2 > m_1\) она меняет знак — частица отскакивает назад.

Угол отскока от нормали:

\[ \operatorname{tg}\beta = \frac{u_\tau}{|u_n|} = \operatorname{tg}\alpha\cdot\frac{m_1+m_2}{m_2-m_1}. \]

Проверка. При \(m_2 \gg m_1\) получаем \(\beta \to \alpha\) ✓ — отражение от неподвижной стенки «угол падения равен углу отражения». При \(m_2 \to m_1\) знаменатель обращается в нуль и \(\beta \to 90^\circ\) ✓: нормальная составляющая полностью передаётся шару, и частица уходит вдоль поверхности — частный случай «прямого угла» из задачи 2.5.2. При \(m_1 > m_2\) формула даёт отрицательный тангенс, что означает: частица продолжает лететь вперёд, лишь слегка отклонившись ✓.

Ответ \( \operatorname{tg}\beta = \operatorname{tg}\alpha\,\dfrac{m_1+m_2}{m_2-m_1} \).

Следующая задача 2.5.11 →