Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.5. Столкновения

Савченко, задача 2.5.11

Задача 2.5.11удар сразу по двум

Условие

На два одинаковых неподвижных шара налетает такой же третий, центр которого движется по средней линии отрезка, соединяющего центры неподвижных шаров. После упругого удара налетающий шар останавливается. Каково расстояние между центрами первоначально неподвижных шаров, если радиус шаров \(R\)?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Удары гладких шаров передают импульс вдоль линии центров. Два закона сохранения дают угол этой линии, а дальше — простая геометрия касания.

Расстояние между центрами в момент касания равно 2R.

Динамика. Пусть линии центров составляют с направлением движения угол \(\theta\), а каждый из покоившихся шаров получает скорость \(u\) вдоль своей линии центров. Налетающий шар останавливается, поэтому

\[ \text{импульс:}\quad mv = 2mu\cos\theta,\qquad \text{энергия:}\quad \frac{mv^2}{2} = 2\cdot\frac{mu^2}{2}. \]

Из второго \(v^2 = 2u^2\); подставляя в квадрат первого:

\[ 4u^2\cos^2\theta = 2u^2 \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta = \frac{1}{\sqrt2},\qquad \theta = 45^\circ. \]

Геометрия. В момент удара шары касаются, значит, расстояние между центрами равно \(2R\), а половина искомого расстояния — это катет:

\[ \frac{d}{2} = 2R\sin\theta = 2R\cdot\frac{1}{\sqrt2} = R\sqrt2, \qquad d = 2\sqrt2\,R. \]

Проверка. \(d = 2\sqrt2 R \approx 2{,}83R\) — больше \(2R\) ✓, то есть неподвижные шары не касаются друг друга, и налетающий проходит между ними ✓. Скорость каждого \(u = v/\sqrt2\), их суммарная энергия \(2\cdot\tfrac{m}{2}\tfrac{v^2}{2} = \tfrac{mv^2}{2}\) ✓.

Ответ \( d = 2\sqrt2\,R \approx 2{,}83\,R \).

Следующая задача 2.5.12 →