Бусинки массы \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\) могут скользить вдоль горизонтальной спицы без трения, причём \(m_1 \gg m_2\) и \(m_3 \gg m_2\). Определите максимальные скорости крайних бусинок, если вначале они покоились, а средняя бусинка имела скорость \(v\). Удары упругие.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Чем всё кончится. После каждого удара лёгкая бусинка отскакивает, догоняет соседку, снова отскакивает… Процесс прекращается, когда её скорость оказывается зажатой между скоростями тяжёлых бусинок — догнать она уже никого не может. Скорости тяжёлых бусинок при этом порядка \(v\sqrt{m_2/m_1}\), а значит, у лёгкой в конце остаётся
• энергия порядка \(m_2\cdot\dfrac{m_2}{m_1}v^2\) — в \(m_1/m_2\) раз меньше начальной, то есть пренебрежимо малая;
• импульс порядка \(m_2 v\sqrt{m_2/m_1}\) — тоже пренебрежимо малый по сравнению с \(m_1v_1 \sim v\sqrt{m_1m_2}\).
Два закона сохранения. Отбрасывая эти малые величины (начальный импульс \(m_2v\) тоже мал по сравнению с \(m_1v_1\)), получаем
\[ m_1v_1 = m_3v_3 \equiv p \quad(\text{импульсы гасят друг друга}), \] \[ \frac{p^2}{2m_1} + \frac{p^2}{2m_3} = \frac{m_2v^2}{2} \quad(\text{вся энергия у крайних}). \]Отсюда
\[ p = v\sqrt{\frac{m_1m_2m_3}{m_1+m_3}},\qquad v_1 = v\sqrt{\frac{m_2m_3}{m_1(m_1+m_3)}},\qquad v_3 = v\sqrt{\frac{m_2m_1}{m_3(m_1+m_3)}}. \]