Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.5. Столкновения

Савченко, задача 2.5.8

Задача 2.5.81987 и 1988 столкновений

Условие

Шарики массы \(m_1\) и \(m_2\) движутся в неподвижной кольцевой трубке с начальными скоростями \(v_1\) и \(v_2\). Каковы будут их скорости после 1987, 1988 столкновений? Удары упругие, трубка гладкая.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея В системе центра масс каждый упругий удар просто разворачивает обе скорости. Два разворота подряд возвращают всё на место — значит, картина повторяется через каждые два столкновения.

Кольцо гарантирует, что шарики встретятся снова и снова.

Один удар. Трубка гладкая и кольцевая, поэтому каждое столкновение — обычный одномерный упругий удар. По формулам центрального упругого удара

\[ v_1' = \frac{(m_1-m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1+m_2},\qquad v_2' = \frac{(m_2-m_1)v_2 + 2m_1v_1}{m_1+m_2}. \]

Два удара. В системе центра масс каждый удар меняет знаки обеих относительных скоростей: \(u_i \to -u_i\). Два удара подряд дают \(u_i \to u_i\), то есть после второго столкновения скорости возвращаются к исходным. Дальше всё повторяется с периодом два.

Отсюда ответ. 1987 — число нечётное, значит, скорости такие же, как после первого удара. 1988 — чётное, значит, скорости равны начальным:

\[ \text{после 1987: } v_1' = \frac{(m_1-m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1+m_2},\quad v_2' = \frac{(m_2-m_1)v_2 + 2m_1v_1}{m_1+m_2}; \] \[ \text{после 1988: } v_1,\ v_2. \]

Проверка. Если \(m_1 = m_2\), формулы дают \(v_1' = v_2\), \(v_2' = v_1\) — шарики просто меняются скоростями, и после второго обмена всё возвращается ✓. Заметим, что «вернулись скорости» не значит «вернулись положения»: шарики при этом успевают уехать по кольцу, но нас спрашивали только про скорости ✓.

Ответ После 1987 столкновений \( v_1' = \dfrac{(m_1-m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1+m_2} \), \( v_2' = \dfrac{(m_2-m_1)v_2 + 2m_1v_1}{m_1+m_2} \); после 1988 — те же, что вначале.

Следующая задача 2.5.9 →