Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.5. Столкновения

Савченко, задача 2.5.7

Задача 2.5.7через момент наибольшего сближения

Условие

В момент наибольшего сближения тел при упругом столкновении их скорость одинакова и равна \(v\). Какова скорость этих тел после разлёта, если до столкновения их скорость была соответственно \(v_1\) и \(v_2\)? Тела движутся по одной прямой.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея В момент наибольшего сближения тела движутся вместе — значит, эта общая скорость и есть скорость центра масс. А в системе центра масс упругий удар просто меняет знаки скоростей.

Относительно центра масс скорость только разворачивается.

Что за скорость \(v\). В момент наибольшего сближения расстояние между телами перестаёт меняться, то есть скорости равны. Общий импульс при этом равен \((m_1+m_2)v\), а он всё время равен \((m_1+m_2)V\), где \(V\) — скорость центра масс. Значит, \(v = V\).

Упругий удар в системе центра масс. Там суммарный импульс равен нулю, поэтому \(m_1(v_1-v) + m_2(v_2-v) = 0\), а сохранение энергии оставляет единственную возможность: обе скорости меняют знак,

\[ v_i' - v = -(v_i - v). \]

Возвращаемся в лабораторную систему:

\[ v_1' = 2v - v_1,\qquad v_2' = 2v - v_2. \]

Проверка. Импульс: \(m_1(2v-v_1)+m_2(2v-v_2) = 2v(m_1+m_2) - (m_1v_1+m_2v_2) = m_1v_1+m_2v_2\) ✓. Энергия сохраняется, так как модули скоростей относительно центра масс не изменились ✓. Частный случай \(m_1 = m_2\): \(v = (v_1+v_2)/2\), и формулы дают \(v_1' = v_2\), \(v_2' = v_1\) — обмен скоростями ✓ (задача 2.5.1).

Ответ \( v_1' = 2v - v_1 \); \( v_2' = 2v - v_2 \).

Следующая задача 2.5.8 →