Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.5. Столкновения

Савченко, задача 2.5.6

Задача 2.5.6угол разлёта в общем случае

Условие

Две одинаковые частицы движутся под углом \(\alpha\) друг к другу с начальными скоростями \(v_1\) и \(v_2\). После упругого взаимодействия у одной из частиц скорость стала равна \(u_1\). Найдите угол разлёта.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Тот же приём, что и в задаче 2.5.2: возвести векторное равенство импульсов в квадрат и вычесть энергетическое. Уцелеет только равенство скалярных произведений.

Скалярное произведение скоростей столкновение не меняет.

Законы сохранения (массы одинаковы, сокращаем на \(m\)):

\[ \vec v_1 + \vec v_2 = \vec u_1 + \vec u_2,\qquad v_1^2 + v_2^2 = u_1^2 + u_2^2. \]

Модуль второй скорости находится сразу:

\[ u_2 = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 - u_1^2}. \]

Угол. Возведём импульсное равенство в квадрат:

\[ v_1^2 + 2\vec v_1\!\cdot\!\vec v_2 + v_2^2 = u_1^2 + 2\vec u_1\!\cdot\!\vec u_2 + u_2^2. \]

Квадраты по энергии одинаковы, поэтому

\[ \vec u_1\cdot\vec u_2 = \vec v_1\cdot\vec v_2 \quad\Longrightarrow\quad u_1u_2\cos\beta = v_1v_2\cos\alpha. \] \[ \cos\beta = \frac{v_1v_2\cos\alpha}{u_1\sqrt{v_1^2+v_2^2-u_1^2}}. \]

Проверка. Если вторая частица покоилась (\(v_2 = 0\)), то \(\cos\beta = 0\) и \(\beta = 90^\circ\) — задача 2.5.2 ✓. Если частицы летели навстречу «в лоб» (\(\alpha = 180^\circ\)) и просто отскочили, то \(u_1 = v_1\), \(u_2 = v_2\) и \(\cos\beta = -1\) ✓. Инвариант \(\vec u_1\cdot\vec u_2 = \vec v_1\cdot\vec v_2\) — красивое следствие двух законов сохранения, стоит его запомнить.

Ответ \( \cos\beta = \dfrac{v_1v_2\cos\alpha}{u_1\sqrt{v_1^2+v_2^2-u_1^2}} \).

Следующая задача 2.5.7 →