Между неподвижным шаром массы \(m_1\) и налетающим на него шаром массы
\(m_2\) находится неподвижный шар. Какова масса промежуточного шара, при
которой шар массы \(m_1\) приобретает после соударения наибольшую скорость?
Все удары центральные и упругие.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Дважды применяем формулу передачи скорости и получаем произведение двух
дробей. Максимум ищется неравенством о средних — и ответом оказывается
среднее геометрическое.
Промежуточный шар работает «переходником» между массами
m₂ и m₁.
Первый удар. Шар \(m_2\) со скоростью \(v\) бьёт покоящийся шар
\(m\); тот получает (формула из задачи 2.5.3)
\[ u = \frac{2m_2}{m_2+m}\,v. \]
Второй удар. Теперь шар \(m\) со скоростью \(u\) бьёт покоящийся
\(m_1\):
\[ w = \frac{2m}{m+m_1}\,u = \frac{4\,m\,m_2}{(m_2+m)(m+m_1)}\,v. \]
Максимум. Перевернём дробь: надо минимизировать
\[ \frac{(m_2+m)(m+m_1)}{m}
= m + \frac{m_1m_2}{m} + (m_1+m_2). \]
По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом
\(m + \dfrac{m_1m_2}{m} \ge 2\sqrt{m_1m_2}\), причём равенство достигается
при
\[ m = \sqrt{m_1m_2}. \]
Проверка. Ответ симметричен относительно \(m_1\) и
\(m_2\) ✓ — как и должно быть у «переходника». При \(m_1 = m_2\) получаем
\(m = m_1\), то есть все три шара одинаковы, и скорость передаётся полностью ✓.
С оптимальным промежуточным шаром скорость \(m_1\) равна
\(4m_2 v/(\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2})^2\), что всегда больше, чем при прямом ударе
\(2m_2v/(m_1+m_2)\) ✓ — «лесенка» масс и правда помогает.