Локомотив с постоянной силой тяги \(F\) начал двигаться к стоящему вагону и столкнулся с ним через время \(\Delta t\). Найдите время между последующими соударениями локомотива с этим вагоном. Удар упругий. Трением в осях колёс пренебречь. Массы вагона и локомотива не одинаковы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Относительная координата. Пусть \(M\) — масса локомотива. На него действует сила \(F\), на вагон — ничего (трения нет). Значит, относительное ускорение постоянно:
\[ a_{\text{отн}} = \frac{F}{M}. \]Первое соударение. Стартовали из состояния покоя, за время \(\Delta t\) относительная скорость сближения выросла до
\[ w = \frac{F}{M}\,\Delta t. \]Что делает удар. Упругий удар меняет знак относительной скорости, не меняя её модуля: тела разъезжаются со скоростью \(w\). Дальше сила \(F\) снова их сближает с тем же ускорением \(F/M\). Это в точности движение мячика, подброшенного вверх: он вернётся через
\[ t = \frac{2w}{a_{\text{отн}}} = \frac{2\,(F\Delta t/M)}{F/M} = 2\,\Delta t. \]При этом относительная скорость в момент нового удара снова равна \(w\), так что и все следующие промежутки такие же:
\[ t_n - t_{n-1} = 2\,\Delta t. \]