При упругом столкновении налетающей частицы с покоящейся первая полетела под
углом \(\alpha\) к направлению первоначального движения, а вторая — под углом
\(\beta\). Найдите отношение масс этих частиц.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Импульсы после удара удобно находить по теореме синусов из «треугольника
импульсов». Подставив их в закон сохранения энергии, получаем отношение масс.
Импульсы находятся по теореме синусов, массы — из энергии.
Импульсы из треугольника. Векторы \(\vec p_1\) и \(\vec p_2\)
складываются в \(\vec p\), а углы при основании равны \(\alpha\) и \(\beta\).
По теореме синусов
Проверка. Одинаковые массы: тогда \(\alpha+\beta =
90^\circ\) (задача 2.5.2), и правая часть равна
\((1 - \sin^2\beta)/\sin^2\alpha = \cos^2\beta/\sin^2\alpha = 1\) ✓.
Ответ можно свернуть: по тождеству \(\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)\)
числитель равен \(\sin(\alpha+2\beta)\sin\alpha\), так что
\(\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{\sin(\alpha+2\beta)}{\sin\alpha}\).
Отсюда сразу видно: чем тяжелее налетающая частица, тем меньше угол её
отклонения \(\alpha\) ✓ — в согласии с задачей 2.5.17.
Ответ
\( \dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{\sin^2(\alpha+\beta) - \sin^2\beta}{\sin^2\alpha} \),
где \(m_1\) — масса налетающей частицы.