Тяжёлая частица массы \(m_1\) сталкивается с покоящейся лёгкой частицей массы \(m_2\). На какой наибольший угол может отклониться тяжёлая частица в результате упругого удара?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Разложение. Скорость тяжёлой частицы после удара — это сумма скорости центра масс и её скорости относительно центра масс:
\[ \vec v_1' = \vec V + \vec u,\qquad V = \frac{m_1v}{m_1+m_2},\qquad u = \frac{m_2v}{m_1+m_2}. \]При упругом ударе модуль \(u\) не меняется, меняется только направление — значит, конец вектора \(\vec v_1'\) обегает окружность радиуса \(u\) с центром в конце вектора \(\vec V\).
Наибольший угол. Частица тяжёлая, \(m_1 > m_2\), поэтому \(u < V\): начало вектора лежит вне окружности, и угол отклонения ограничен. Он максимален, когда \(\vec v_1'\) касается окружности; тогда радиус перпендикулярен вектору, и из прямоугольного треугольника
\[ \sin\alpha_{\max} = \frac{u}{V} = \frac{m_2}{m_1}. \]