Частица массы \(m_1\) налетела со скоростью \(v\) на неподвижную частицу
массы \(m_2\), которая после упругого удара полетела под углом \(\alpha\) к
первоначальному направлению движения налетающей частицы. Определите скорость
частицы массы \(m_2\) после удара.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
В системе центра масс покоившаяся частица движется со скоростью, равной
скорости самого центра масс. После упругого удара модуль тот же — и в
лабораторной системе получается равнобедренный треугольник.
Две стороны равны V, поэтому основание
равно 2V cos α.
Скорость центра масс. Вторая частица покоилась, поэтому
\[ V = \frac{m_1v}{m_1+m_2}. \]
В системе центра масс частица \(m_2\) движется со скоростью \(V\) (навстречу
движению центра масс), и после упругого удара модуль этой скорости не
меняется — меняется только направление.
Равнобедренный треугольник. В лабораторной системе
\[ \vec u = \vec V + \vec u_{\text{ц}},\qquad |\vec u_{\text{ц}}| = V. \]
Обе боковые стороны равны \(V\), а угол при основании равен \(\alpha\).
Опуская высоту на основание, получаем
\[ u = 2V\cos\alpha = \frac{2m_1 v\cos\alpha}{m_1+m_2}. \]
Проверка. При \(\alpha = 0\) (центральный удар)
выходит \(u = 2m_1v/(m_1+m_2)\) — знакомая формула из задачи 2.5.3 ✓. При
\(\alpha \to 90^\circ\) скорость стремится к нулю ✓: вбок частицу выбить
«вскользь» почти нечем. Отсюда же видно, что выбитая частица всегда
летит вперёд, \(\alpha < 90^\circ\) ✓.
Ответ
\( u = \dfrac{2m_1 v\cos\alpha}{m_1+m_2} \).