Космический корабль массы \(m_1\) пролетал с выключенными двигателями вблизи
первоначально неподвижного космического тела. При этом импульс корабля,
вначале равный \(p_0\), стал равным \(p\), а направление его движения
изменилось на угол \(\alpha\). Определите массу космического тела.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Тяготение — сила консервативная, и вдали от тела потенциальная энергия снова
нулевая. Значит, «пролёт» — это в точности упругое столкновение, только
бесконтактное. Дальше — теорема косинусов и энергия.
Гравитационный пролёт — то же упругое столкновение, только без
касания.
Импульс. Тело получило импульс \(\vec p_2 = \vec p_0 - \vec p\), и по
теореме косинусов
\[ p_2^2 = p_0^2 + p^2 - 2pp_0\cos\alpha. \]
Энергия. Вдали от тела взаимодействие уже не сказывается, поэтому
кинетическая энергия «до» равна кинетической энергии «после»:
Проверка. Знаменатель положителен, значит,
\(p < p_0\): корабль обязательно теряет импульс — часть отдаёт телу ✓.
Если \(\alpha = 0\) и \(p = p_0\), формула даёт \(0/0\) — ничего не произошло,
корабль пролетел мимо ✓. Чем массивнее тело, тем меньше корабль тормозится:
при \(m_2 \to \infty\) получается \(p \to p_0\) ✓ (тело неподвижно, и удар для
корабля — как о стенку).