По горизонтальной плоскости может скользить без трения гладкая «горка»
высоты \(h\) и массы \(m_1\). Горка плавно переходит в плоскость. При какой
наименьшей скорости горки небольшое тело массы \(m_2\), неподвижно лежащее
вначале на её пути, перевалит через вершину?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
«Еле-еле перевалить» означает, что на вершине тело и горка движутся с
одинаковой скоростью — иначе тело ещё поднималось бы или уже скатывалось.
Дальше — импульс и энергия.
Горка догоняет тело; в предельном случае они добираются до
вершины «вместе».
Условие «еле-еле». Пока тело поднимается, оно отстаёт от горки. В
предельном случае на вершине их скорости сравниваются — обозначим общую
скорость \(u\).
Импульс:
\[ m_1 v = (m_1+m_2)\,u \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{m_1v}{m_1+m_2}. \]
Проверка. При \(m_1 \gg m_2\) горка почти не
тормозится, и нужно \(v \to \sqrt{2gh}\) ✓ — как для неподвижной горки. Чем
легче горка, тем большая скорость нужна ✓: она сильно тормозится, отдавая
импульс телу. Ту же формулу можно получить и в системе центра масс: там вся
«полезная» энергия равна \(\mu v^2/2\) с приведённой массой \(\mu\), и условие
\(\mu v^2/2 = m_2gh\) даёт то же самое ✓.
Ответ
\( v = \sqrt{2gh\left(1 + \dfrac{m_2}{m_1}\right)} \).