Тело массы \(m_2\) наезжает со скоростью \(v\) на неподвижную первоначально горку, описанную в предыдущей задаче. Найдите скорость этого тела и горки, если оно снова окажется на горизонтальной плоскости.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Порог. Тело переваливает через вершину, если его скорость больше той, что найдена в предыдущей задаче (роли тел симметричны — важна лишь относительная скорость):
\[ v_0 = \sqrt{2gh\left(1 + \frac{m_2}{m_1}\right)}. \]Случай \(v < v_0\): тело скатывается обратно. Оно возвращается на плоскость, вся энергия сохранена — это в точности одномерный упругий удар тела \(m_2\) о покоящуюся «стенку» \(m_1\):
\[ v_2 = \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\,v \quad(\text{тело}),\qquad v_1 = \frac{2m_2}{m_1+m_2}\,v \quad(\text{горка}). \]При \(m_2 < m_1\) тело отскакивает назад, при \(m_2 > m_1\) — продолжает двигаться вперёд, отстав от горки.
Случай \(v > v_0\): тело переваливает. Оно спускается по другому склону и снова оказывается на плоскости. Импульс и энергия сохраняются, а у такой системы уравнений ровно два решения: относительная скорость тела и горки в конце равна либо \(-v\) (тело «отразилось» — случай выше), либо \(+v\). Тело прошло над горкой, не поворачивая относительно неё назад, — знак относительной скорости не сменился, поэтому \(v_2 - v_1 = v\). Вместе с сохранением импульса \(m_2v = m_1v_1 + m_2v_2\) это даёт
\[ v_2 = v,\qquad v_1 = 0. \]Тело как ни в чём не бывало летит со своей прежней скоростью, а горка остаётся стоять — она лишь на время «одолжила» импульс и вернула его.
При \(v < v_0\): \( v_1 = \dfrac{2m_2}{m_1+m_2}\,v \), \( v_2 = \dfrac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\,v \) (\(v_1\) — скорость горки, \(v_2\) — тела).