Подставка массы \(m_1\) с полусферической выемкой радиуса \(R\) стоит на гладком столе. Тело массы \(m_2\) кладут на край выемки и отпускают. Найдите скорость тела и подставки в момент, когда тело проходит нижнюю точку полусферы. С какой силой оно давит на подставку в этой точке? Трением пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Скорости. Стол гладкий, горизонтальных внешних сил нет, всё началось из покоя:
\[ m_1v_1 = m_2v_2 \equiv p \quad(\text{скорости противоположны}). \]Энергия: тело опустилось на \(R\),
\[ \frac{p^2}{2m_1} + \frac{p^2}{2m_2} = m_2 g R \ \Longrightarrow\ p = m_2\sqrt{\frac{2gRm_1}{m_1+m_2}}. \] \[ v_2 = \sqrt{\frac{2gRm_1}{m_1+m_2}},\qquad v_1 = \frac{m_2}{m_1}\sqrt{\frac{2gRm_1}{m_1+m_2}}. \]Сила давления. В нижней точке нормаль к поверхности вертикальна, значит, горизонтальная сила на подставку в этот момент равна нулю — подставка мгновенно не ускоряется, и её систему отсчёта можно считать инерциальной. В ней тело движется по окружности радиуса \(R\) с относительной скоростью
\[ v_{\text{отн}} = v_1 + v_2 = v_2\,\frac{m_1+m_2}{m_1}, \qquad v_{\text{отн}}^2 = \frac{2gR\,(m_1+m_2)}{m_1}. \]Второй закон по вертикали:
\[ N - m_2g = \frac{m_2 v_{\text{отн}}^2}{R} = 2m_2g\,\frac{m_1+m_2}{m_1}, \] \[ N = m_2g\left(3 + \frac{2m_2}{m_1}\right). \]