Тела массы \(m_1\) и \(m_2\) связаны недеформированной пружиной жёсткости \(k\). Определите наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу массы \(m_1\), чтобы пружина сжалась на величину \(x\). Какими будут скорости тел, когда пружина снова окажется недеформированной?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Наименьшая скорость. В момент наибольшего сжатия скорости выравниваются:
\[ m_1u = (m_1+m_2)\,V,\qquad \frac{m_1u^2}{2} = \frac{(m_1+m_2)V^2}{2} + \frac{kx^2}{2}. \]Исключая \(V\), получаем
\[ \frac{m_1u^2}{2}\cdot\frac{m_2}{m_1+m_2} = \frac{kx^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad u = x\sqrt{\frac{k\,(m_1+m_2)}{m_1m_2}}. \]Когда пружина распрямится. Вся упругая энергия снова возвращается в кинетическую, а импульс сохраняется — это те же уравнения, что и у упругого удара, и решение то же:
\[ u_1 = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,u,\qquad u_2 = \frac{2m_1}{m_1+m_2}\,u. \]Что дальше. Тела связаны, поэтому после распрямления пружина начинает растягиваться, тормозит их и снова возвращается к своей длине — и в этот момент скорости возвращаются к исходным, \(u_1 = u\), \(u_2 = 0\). Дальше всё повторяется.