Два шарика массы \(m_1\) и \(m_2\) висят на длинных одинаковых нитях. Между
ними находится сжатая пружина, которая удерживается в сжатом состоянии
связывающей её нитью. Потенциальная энергия деформации пружины \(U\). Нить,
связывающую пружину, пережигают. Найдите максимальную высоту, на которую
поднимутся шарики.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
До пережигания система покоилась, значит суммарный импульс равен нулю — и
сразу после разлёта он тоже нуль. Поэтому импульсы шариков равны по модулю
и противоположны, а вся энергия пружины стала кинетической. Дальше каждый
шарик — обычный маятник.
Пружина расталкивает шарики; каждый уходит по своей дуге на
«свою» высоту.
Сразу после пережигания. Импульс системы был нулевым и остался
нулевым, значит шарики разлетаются с равными по модулю импульсами:
\[ m_1v_1 = m_2v_2 \equiv p. \]
Пружина отдала всю свою энергию:
\[ \frac{p^2}{2m_1} + \frac{p^2}{2m_2} = U
\quad\Longrightarrow\quad
p^2\,\frac{m_1+m_2}{2m_1m_2} = U
\quad\Longrightarrow\quad
p^2 = \frac{2U\,m_1m_2}{m_1+m_2}. \]
Подъём. Дальше шарик просто качается на нити, и его кинетическая
энергия переходит в потенциальную: \(mgh = p^2/(2m)\), то есть
\(h = p^2/(2m^2g)\). Подставляем найденное \(p^2\):
Проверка. Сложим энергии подъёма:
\(m_1gh_1 + m_2gh_2 = \dfrac{m_2U}{m_1+m_2} + \dfrac{m_1U}{m_1+m_2} = U\) ✓ — вся
энергия пружины в итоге стала потенциальной энергией тяжести, как и должно
быть. Отношение высот \(h_1/h_2 = (m_2/m_1)^2\) ✓: лёгкий шарик и быстрее, и
выше. При \(m_2 \to \infty\) получаем \(h_1 \to U/(m_1g)\), \(h_2 \to 0\) ✓ —
тяжёлый шарик стоит на месте, а вся энергия достаётся лёгкому.