Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.5. Столкновения

Савченко, задача 2.5.26

Задача 2.5.26симметричный разлёт под 45°

Условие

Частица массы \(2m\) налетает на неподвижную частицу массы \(m\). После столкновения частицы разлетаются симметрично под углом \(45^\circ\) к направлению начальной скорости. Во сколько раз возросла суммарная кинетическая энергия после столкновения?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Симметричны углы — но не скорости. Поперечная проекция импульса свяжет скорости между собой, продольная — определит их величину. А энергию потом просто посчитаем.

Углы симметричны, а вот скорости — нет: у лёгкой частицы она вдвое больше.

Поперёк начальной скорости. Изначально поперечного импульса не было, значит поперечные проекции гасят друг друга:

\[ 2m\,u_1\sin 45^\circ = m\,u_2\sin 45^\circ \quad\Longrightarrow\quad u_2 = 2u_1. \]

Вдоль начальной скорости.

\[ 2mv = 2m\,u_1\cos 45^\circ + m\,u_2\cos 45^\circ = \frac{2m u_1 + 2m u_1}{\sqrt2} = 2\sqrt2\,m\,u_1, \] \[ u_1 = \frac{v}{\sqrt2},\qquad u_2 = 2u_1 = \sqrt2\,v. \]

Энергия. До удара двигалась только тяжёлая частица:

\[ K_{\text{до}} = \frac{2m v^2}{2} = mv^2, \] \[ K_{\text{после}} = \frac{2m u_1^2}{2} + \frac{m u_2^2}{2} = m\cdot\frac{v^2}{2} + m\cdot\frac{2v^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mv^2 = \frac{3}{2}\,mv^2. \] \[ \frac{K_{\text{после}}}{K_{\text{до}}} = \frac{3}{2} = 1{,}5. \]

Проверка. Продольный импульс после удара: \(2m\cdot\frac{v}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{\sqrt2} + m\cdot\sqrt2 v\cdot\frac{1}{\sqrt2} = mv + mv = 2mv\) ✓ — совпал с начальным. Энергия выросла — значит удар не просто упругий, а «взрывной»: при столкновении высвободилась внутренняя энергия частиц (так бывает в ядерных реакциях). Для сравнения: при упругом ударе \(2m\) о \(m\) суммарный угол разлёта был бы меньше \(90^\circ\), а здесь он ровно \(90^\circ\) — уже подсказка, что энергии добавилось.

Ответ в \(1{,}5\) раза.

Следующая задача 2.5.27 →