Задача 2.5.28порог возбуждения атома
Условие
Атом массы \(m\) в возбуждённом состоянии имеет внутреннюю энергию, бо́льшую чем в основном состоянии, на \(E\). При какой наименьшей энергии электрон с массой \(m_e\) может возбудить первоначально покоящийся атом?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Всю кинетическую энергию потратить нельзя: импульс обязан сохраниться, значит
после удара что-то обязано двигаться. Самый экономный вариант — когда
электрон и атом после удара летят вместе: тогда «лишней» кинетической
энергии остаётся минимум.
Почему «летят вместе». Суммарный импульс задан, значит энергия движения центра масс \(P^2/2(m_e+m)\) — обязательный «налог», уменьшить его нельзя. Всё остальное — энергия относительного движения, и её можно свести к нулю, если после удара относительного движения нет, то есть электрон и атом движутся с одной скоростью. Это и есть порог.
Пусть \(v\) — скорость электрона, \(V\) — общая скорость после удара.
\[ m_ev = (m_e+m)V,\qquad \frac{m_ev^2}{2} = \frac{(m_e+m)V^2}{2} + E. \]Выразим \(V = m_ev/(m_e+m)\) и подставим:
\[ E = \frac{m_ev^2}{2} - \frac{(m_ev)^2}{2(m_e+m)} = \frac{m_ev^2}{2}\left(1 - \frac{m_e}{m_e+m}\right) = \frac{m_ev^2}{2}\cdot\frac{m}{m_e+m}. \]Кинетическая энергия электрона \(K = m_ev^2/2\), поэтому
\[ K = E\,\frac{m_e+m}{m} = E\left(1 + \frac{m_e}{m}\right). \]Проверка. Полученную скобку удобно понимать так:
«в дело» идёт только энергия относительного движения \(\mu v^2/2\) с
приведённой массой \(\mu = m_em/(m_e+m)\), и действительно
\(\mu v^2/2 = K\cdot m/(m+m_e)\) ✓. При \(m\to\infty\) (очень тяжёлый атом)
\(K \to E\) ✓ — тяжёлую мишень не сдвинуть, вся энергия идёт на возбуждение.
Для электрона поправка крошечная: у водорода \(m_e/m \approx 1/1837\).
Ответ
\( K = E\left(1 + \dfrac{m_e}{m}\right) \).