Задача 2.5.29протон ионизует водород
Условие
Электрон может ионизовать покоящийся атом водорода, обладая энергией, не меньшей \(13{,}6\) эВ. Какой минимальной энергией должен обладать протон, чтобы ионизовать также покоящийся атом водорода? Масса протона \(m_p = 1836\,m_e\), где \(m_e\) — масса электрона.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Формула порога из предыдущей задачи универсальна:
\(K = E_{\text{и}}\bigl(1 + m_{\text{сн}}/M\bigr)\), где \(m_{\text{сн}}\) — масса
снаряда, \(M\) — масса мишени. Для электрона поправка ничтожна, а для протона
она удваивает порог: тяжёлый снаряд неизбежно «уносит с собой» половину
энергии.
Масса атома водорода \(M = m_p + m_e = 1837\,m_e\).
Электрон. Порог \(K_e = E_{\text{и}}\left(1 + \dfrac{m_e}{M}\right) = E_{\text{и}}\left(1 + \dfrac{1}{1837}\right)\). Отсюда сама энергия ионизации
\[ E_{\text{и}} = \frac{13{,}6}{1 + 1/1837} = 13{,}6\cdot\frac{1837}{1838} \approx 13{,}59\ \text{эВ}, \]то есть отличается от \(13{,}6\) эВ на пять сотых процента — этой разницей можно пренебречь.
Протон.
\[ K_p = E_{\text{и}}\left(1 + \frac{m_p}{M}\right) = 13{,}59\cdot\left(1 + \frac{1836}{1837}\right) \approx 13{,}59\cdot 1{,}9995 \approx 27{,}2\ \text{эВ}. \]Проверка. Массы протона и атома почти совпадают,
поэтому множитель практически равен \(2\): ровно половина энергии протона
неизбежно уходит на движение центра масс и «не работает» ✓. Отсюда простое
правило: пороги для тяжёлых частиц примерно вдвое больше, чем для электронов
— поэтому ионизовать газ электронным пучком выгоднее. Ответ ровно вдвое
больше исходных \(13{,}6\) эВ с точностью до долей процента.
Ответ
\( K_p \approx 27{,}2\ \text{эВ} \) — примерно вдвое больше, чем для электрона.