В результате распада движущегося ядра появились два осколка массы \(m_1\) и \(m_2\) с импульсами \(p_1\) и \(p_2\), разлетающиеся под углом \(\theta\). Определите выделившуюся при распаде ядра энергию.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Импульс ядра. До распада ядро массы \(M = m_1+m_2\) имело импульс
\[ \vec P = \vec p_1 + \vec p_2,\qquad P^2 = p_1^2 + p_2^2 + 2p_1p_2\cos\theta \](теорема косинусов для параллелограмма). Центр масс движется так же и после распада, так что энергия \(P^2/(2M)\) была у ядра изначально и в «выделившуюся» не входит.
Баланс энергии. Выделившаяся энергия — это прибавка кинетической энергии:
\[ E = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} - \frac{P^2}{2(m_1+m_2)}. \]Приведём к общему знаменателю \(2m_1m_2(m_1+m_2)\). В числителе получится
\[ p_1^2m_2(m_1+m_2) + p_2^2m_1(m_1+m_2) - m_1m_2\bigl(p_1^2+p_2^2+2p_1p_2\cos\theta\bigr). \]Раскроем скобки: слагаемые \(p_1^2m_1m_2\) и \(p_2^2m_1m_2\) сократятся, и останется
\[ \boxed{\;E = \frac{m_2^2p_1^2 + m_1^2p_2^2 - 2m_1m_2p_1p_2\cos\theta} {2m_1m_2(m_1+m_2)}\;} \]— энергия относительного движения осколков ✓, и она, как и положено, не зависит от того, с какой скоростью летело ядро. Проверим предельный случай \(\theta = 180^\circ\), \(p_1 = p_2 = p\) (ядро покоилось): числитель равен \(p^2(m_1+m_2)^2\), значит \(E = \dfrac{p^2(m_1+m_2)}{2m_1m_2} = \dfrac{p^2}{2m_1} + \dfrac{p^2}{2m_2}\) ✓ — ровно задача 2.5.30.