При двухчастичном распаде частиц с кинетической энергией \(K\) образуются частицы двух видов. Наибольший угол, под которым продукты распада вылетают из пучка первичных частиц, равен соответственно \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\). Какая энергия выделяется при распаде первичной частицы?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Что известно про центр масс. Пусть \(m_1\) и \(m_2\) — массы продуктов, \(M = m_1+m_2\) — масса первичной частицы, \(V\) — её скорость. Тогда
\[ K = \frac{MV^2}{2}. \]Что происходит в системе центра масс. Там суммарный импульс равен нулю, значит осколки имеют импульсы \(\pm p_0\) и скорости
\[ u_1 = \frac{p_0}{m_1},\qquad u_2 = \frac{p_0}{m_2}, \]а выделившаяся энергия — это как раз их кинетическая энергия:
\[ E = \frac{p_0^2}{2m_1} + \frac{p_0^2}{2m_2} = \frac{p_0^2\,M}{2m_1m_2}. \]Наибольший угол. Из рисунка (касательная перпендикулярна радиусу)
\[ \sin\alpha_1 = \frac{u_1}{V} = \frac{p_0}{m_1V},\qquad \sin\alpha_2 = \frac{u_2}{V} = \frac{p_0}{m_2V}. \]Перемножим — и все массы соберутся в одну комбинацию:
\[ \sin\alpha_1\sin\alpha_2 = \frac{p_0^2}{m_1m_2V^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{p_0^2}{m_1m_2} = V^2\sin\alpha_1\sin\alpha_2. \]Подставляем в выражение для \(E\):
\[ E = \frac{M}{2}\cdot\frac{p_0^2}{m_1m_2} = \frac{MV^2}{2}\,\sin\alpha_1\sin\alpha_2 = K\sin\alpha_1\sin\alpha_2. \]