Савченко, задача 2.5.34

Решение

Что в системе центра масс. Осколки одинаковы, значит масса каждого \(m/2\), а импульсы равны \(\pm q\). Выделившаяся энергия — их кинетическая энергия:

\[ E = 2\cdot\frac{q^2}{2\cdot(m/2)} = \frac{2q^2}{m} \quad\Longrightarrow\quad q^2 = \frac{mE}{2}. \]

Собственная скорость каждого осколка и скорость центра масс:

\[ u = \frac{q}{m/2} = \frac{2q}{m},\quad u^2 = \frac{4q^2}{m^2} = \frac{2E}{m}; \qquad V = \frac{p}{m},\quad V^2 = \frac{p^2}{m^2}. \]

Где угол наибольший. Пусть в системе центра масс осколки летят под углом \(\varphi\) к оси. Их лабораторные скорости имеют проекции \((V + u\cos\varphi,\ u\sin\varphi)\) и \((V - u\cos\varphi,\ -u\sin\varphi)\), так что отклонения \(\theta_1\) и \(\theta_2\) от оси даются формулами

\[ \operatorname{tg}\theta_1 = \frac{u\sin\varphi}{V+u\cos\varphi},\qquad \operatorname{tg}\theta_2 = \frac{u\sin\varphi}{V-u\cos\varphi}. \]

Угол разлёта \(\alpha = \theta_1 + \theta_2\); по формуле тангенса суммы

\[ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\operatorname{tg}\theta_1 + \operatorname{tg}\theta_2} {1 - \operatorname{tg}\theta_1\operatorname{tg}\theta_2} = \frac{2Vu\sin\varphi}{V^2 - u^2}. \]

(в числителе и знаменателе сократился общий множитель \(V^2 - u^2\cos^2\varphi\)).

Случай \(u < V\), то есть \(2mE < p^2\). Знаменатель положителен и от \(\varphi\) не зависит, поэтому \(\alpha\) наибольший при \(\sin\varphi = 1\) — разлёт поперёк движения. Тогда картинка симметрична, \(\theta_1 = \theta_2 = \alpha/2\) и

\[ \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{u}{V} \quad\Longrightarrow\quad \cos\alpha = \frac{1 - u^2/V^2}{1 + u^2/V^2} = \frac{V^2-u^2}{V^2+u^2} = \frac{p^2 - 2mE}{p^2 + 2mE}. \]

Случай \(u > V\), то есть \(2mE > p^2\). Теперь осколок, вылетевший в системе центра масс назад, и в лаборатории летит назад. Взяв \(\varphi = 0\), получаем скорости \(V+u\) вперёд и \(V-u < 0\) назад — то есть строго противоположные направления:

\[ \alpha_{\max} = 180^\circ. \]