Два тела массы \(m_1\) и \(m_2\) прикреплены к нитям одинаковой длины с общей
точкой подвеса и отклонены — одно влево, другое вправо — на один и тот же
угол. Тела одновременно отпускают. При ударе друг о друга они слипаются.
Определите отношение высоты, на которую тела поднимаются после слипания, к
высоте, с которой они начали своё движение вниз.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Нити одинаковы и углы одинаковы — значит в нижней точке скорости равны по
модулю и противоположны. Дальше обычное слипание, и высота подъёма снова
считается через \(v^2/(2g)\). Массы войдут в ответ только через комбинацию
\((m_1-m_2)/(m_1+m_2)\).
Внизу скорости равны и противоположны; после слипания пара
уходит в сторону более тяжёлого тела.
Внизу. Оба тела скатились с одной и той же высоты \(h_0\), поэтому
\[ v = \sqrt{2gh_0} \]
— одинаково для обоих, но направления противоположны.
Проверка. При \(m_1 = m_2\) получаем \(h = 0\) ✓ — тела
гасят друг друга полностью и повисают внизу, вся энергия ушла в тепло. При
\(m_2 \ll m_1\) отношение стремится к \(1\) ✓ — лёгкое тело почти не мешает
тяжёлому. Ответ не зависит ни от длины нитей, ни от угла отклонения ✓ —
и правда, \(h_0\) сократилось. И он всегда меньше единицы: подъём после
неупругого удара не может превысить исходную высоту ✓.
Ответ
\( \dfrac{h}{h_0} = \left(\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^{\!2} \).