Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.5. Столкновения

Савченко, задача 2.5.36

Задача 2.5.36пуля пробивает шар

Условие

Пуля массы \(m_1\), имеющая начальную скорость \(v\), пробивает подвешенный на нити свинцовый шар массы \(m_2\) и вылетает из него с половинной скоростью. Какая часть кинетической энергии пули перешла в тепло?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Сколько импульса пуля потеряла — столько шар и получил. Отсюда скорость шара, а тепло считаем как «было минус стало».

Пуля теряет половину скорости; потерянный импульс целиком достаётся шару.

Импульс.

\[ m_1v = m_1\frac{v}{2} + m_2u \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{m_1v}{2m_2}. \]

Энергия. Начальная энергия пули \(K = m_1v^2/2\). В тепло ушло всё, что не осталось в движении:

\[ Q = \frac{m_1v^2}{2} - \frac{m_1(v/2)^2}{2} - \frac{m_2u^2}{2} = \frac{m_1v^2}{2} - \frac{m_1v^2}{8} - \frac{m_1^2v^2}{8m_2}. \]

Делим на \(K = m_1v^2/2\):

\[ \frac{Q}{K} = 1 - \frac14 - \frac{m_1}{4m_2} = \frac{3 - m_1/m_2}{4}. \]

Проверка. Если шар очень тяжёлый \((m_2\to\infty)\), доля стремится к \(3/4\) ✓ — шар не трогается с места, а пуля, потеряв половину скорости, потеряла три четверти энергии, и всё это тепло. Обратный крайний случай ещё интереснее: при \(m_1 = 3m_2\) формула даёт \(Q = 0\), то есть удар оказывается абсолютно упругим. И правда, при упругом ударе \(v' = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v = \frac v2\) как раз при \(m_1 = 3m_2\) ✓. Значит условие задачи имеет смысл только при \(m_1 < 3m_2\) — более тяжёлая пуля просто не может потерять половину скорости.

Ответ \( \dfrac{Q}{K} = \dfrac{3 - m_1/m_2}{4} \).

Следующая задача 2.5.37 →