Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.5. Столкновения

Савченко, задача 2.5.37

Задача 2.5.37пуля и два груза подряд

Условие

Пуля массы \(m\), имеющая начальную скорость \(v\), пробивает подвешенный на нити груз той же массы \(m\) и застревает во втором таком же. Найдите выделившееся в первом грузе количество теплоты, если во втором грузе выделилось количество теплоты \(Q_2\). Временем взаимодействия пули с грузом пренебречь.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Второй удар — обычное слипание двух одинаковых масс, и по \(Q_2\) сразу восстанавливается скорость пули между грузами. А зная её, легко посчитать тепло на первом ударе.

Пуля проходит первый груз со скоростью \(v_1\) и слипается со вторым.

Второй удар. Пуля массы \(m\) со скоростью \(v_1\) застревает в грузе массы \(m\), их общая скорость \(v_1/2\), и

\[ Q_2 = \frac{mv_1^2}{2} - \frac{2m\,(v_1/2)^2}{2} = \frac{mv_1^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad v_1 = 2\sqrt{\frac{Q_2}{m}}. \]

Первый удар. Импульс: \(mv = mv_1 + mu_1\), значит \(u_1 = v - v_1\). Тепло:

\[ Q_1 = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} - \frac{mu_1^2}{2} = \frac{m}{2}\Bigl[v^2 - v_1^2 - (v-v_1)^2\Bigr] = \frac{m}{2}\bigl(2vv_1 - 2v_1^2\bigr) = m\,v_1(v - v_1). \]

Подставляем \(v_1\):

\[ Q_1 = m\cdot 2\sqrt{\frac{Q_2}{m}}\left(v - 2\sqrt{\frac{Q_2}{m}}\right) = 2\sqrt{Q_2m}\left(v - 2\sqrt{\frac{Q_2}{m}}\right) = 2v\sqrt{Q_2m} - 4Q_2. \]

Проверка. Если \(Q_2\to 0\), то и \(v_1\to 0\), и \(Q_1\to 0\) ✓ — это случай, когда пуля целиком передала скорость первому грузу; у одинаковых масс это идеально упругий «обмен скоростями», и тепла нет. Выражение \(Q_1 = mv_1(v-v_1)\) максимально при \(v_1 = v/2\) и равно \(mv^2/4\) ✓ — ровно половина энергии пули, как и положено при слипании равных масс. Наконец, \(Q_1 > 0\) требует \(v > v_1\) ✓ — пуля обязана вылететь медленнее, чем влетела.

Ответ \( Q_1 = 2\sqrt{Q_2m}\left(v - 2\sqrt{\dfrac{Q_2}{m}}\right) = 2v\sqrt{Q_2m} - 4Q_2 \).

Следующая задача 2.5.38 →