По одной прямой на гладкой горизонтальной плоскости с равными промежутками расположены бруски массы \(m\) каждый. К первому из брусков прикладывают постоянную горизонтальную силу \(F\). Определите скорость брусков перед \(n\)-м соударением и сразу после него. Рассмотрите предельное значение скорости при \(n\), стремящемся к бесконечности, если ширина промежутков между брусками равна \(l\). Удары брусков абсолютно неупругие.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обозначения. Перед \(n\)-м соударением вместе движутся \(n\) брусков (все предыдущие уже слиплись) со скоростью \(v_n\); сразу после соударения движутся \(n+1\) брусков со скоростью \(u_n\).
Удар. Импульс сохраняется:
\[ n m\,v_n = (n+1)m\,u_n \quad\Longrightarrow\quad u_n = \frac{n}{n+1}\,v_n. \]Разгон между ударами. Сила \(F\) проходит промежуток \(l\):
\[ \frac{(n+1)m\,v_{n+1}^2}{2} = \frac{(n+1)m\,u_n^2}{2} + Fl. \]Начало. Первый брусок разгоняется из состояния покоя: \(mv_1^2/2 = Fl\), то есть
\[ v_1^2 = \frac{2Fl}{m} = \frac{Fl}{m}\left(1 + \frac11\right). \]Индукция. Пусть \(v_n^2 = \dfrac{Fl}{m}\left(1+\dfrac1n\right) = \dfrac{Fl}{m}\cdot\dfrac{n+1}{n}\). Тогда
\[ u_n^2 = \frac{n^2}{(n+1)^2}v_n^2 = \frac{Fl}{m}\cdot\frac{n}{n+1} = \frac{Fl}{m\left(1+\frac1n\right)}, \] \[ v_{n+1}^2 = u_n^2 + \frac{2Fl}{(n+1)m} = \frac{Fl}{m}\left(\frac{n}{n+1} + \frac{2}{n+1}\right) = \frac{Fl}{m}\cdot\frac{n+2}{n+1} = \frac{Fl}{m}\left(1 + \frac{1}{n+1}\right), \]то есть формула воспроизводит сама себя ✓. Итак,
\[ v_n = \sqrt{\frac{Fl}{m}\left(1+\frac1n\right)},\qquad u_n = \sqrt{\frac{Fl}{m\left(1+\frac1n\right)}}. \]Предел. При \(n\to\infty\) обе скорости стремятся к одному и тому же значению
\[ v_n,\ u_n \longrightarrow \sqrt{\frac{Fl}{m}} \]— движение выходит на «стационарный» режим: сколько сила накачивает на промежутке, столько удар и съедает.