Задача 2.6.10масса Марса по Фобосу
Условие
Спутник Марса Фобос обращается вокруг него по орбите радиуса 9400 км с периодом 7 ч 39 мин. Во сколько раз масса Марса меньше массы Земли?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Спутник «взвешивает» свою планету: из \(T\) и \(R\) сразу получается \(M\).
Чтобы не возиться с \(\gamma\), удобно сравнить Марс с Землёй через любой
земной спутник — например, через саму Луну.
Масса планеты по спутнику. Как и в задаче 2.6.8,
\[ M = \frac{4\pi^2R^3}{\gamma T^2}. \]Марс. \(R = 9{,}4\cdot10^{6}\) м, \(T = 7\cdot3600 + 39\cdot60 = 27\,540\) с:
\[ R^3 = 8{,}3\cdot10^{20}\ \text{м}^3,\qquad T^2 = 7{,}58\cdot10^{8}\ \text{с}^2, \] \[ M_{\text{М}} = \frac{39{,}5\cdot 8{,}3\cdot10^{20}} {6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 7{,}58\cdot10^{8}} = \frac{3{,}28\cdot10^{22}}{5{,}06\cdot10^{-2}} \approx 6{,}5\cdot10^{23}\ \text{кг}. \]Сравнение с Землёй \((M_{\text{З}} \approx 6{,}0\cdot10^{24}\) кг, задача 2.6.7\()\):
\[ \frac{M_{\text{М}}}{M_{\text{З}}} = \frac{6{,}5\cdot10^{23}}{6{,}0\cdot10^{24}} \approx 0{,}11, \qquad\text{то есть Марс легче Земли примерно в } 9\ \text{раз}. \]Тот же счёт без \(\gamma\). Сравним Фобос с Луной напрямую:
\[ \frac{M_{\text{М}}}{M_{\text{З}}} = \frac{R_{\text{Ф}}^3}{R_{\text{Л}}^3}\cdot\frac{T_{\text{Л}}^2}{T_{\text{Ф}}^2} = \left(\frac{9{,}4\cdot10^{6}}{3{,}85\cdot10^{8}}\right)^{\!3} \left(\frac{2{,}36\cdot10^{6}}{2{,}754\cdot10^{4}}\right)^{\!2} = 1{,}46\cdot10^{-5}\cdot 7{,}34\cdot10^{3} \approx 0{,}107\ ✓ \]— тот же ответ, и гравитационная постоянная не понадобилась вовсе.
Проверка. Табличное значение массы Марса
\(6{,}4\cdot10^{23}\) кг ✓, отношение \(0{,}107\) ✓. Полезно и «на пальцах»:
радиус Марса вдвое меньше земного, плотности планет близки, значит масса должна
быть меньше примерно в \(2^3 = 8\) раз ✓ — что мы и получили.
Опечатка в задачнике. В ответах напечатано «в 0,3 раза». По приведённым в самом условии данным получается \(M_{\text{М}}/M_{\text{З}} \approx 0{,}11\), то есть Марс легче Земли примерно в 9 раз; проверка по таблицам это подтверждает.
Опечатка в задачнике. В ответах напечатано «в 0,3 раза». По приведённым в самом условии данным получается \(M_{\text{М}}/M_{\text{З}} \approx 0{,}11\), то есть Марс легче Земли примерно в 9 раз; проверка по таблицам это подтверждает.
Ответ
\( M_{\text{М}} \approx 6{,}5\cdot10^{23} \) кг, то есть
\( M_{\text{М}}/M_{\text{З}} \approx 0{,}11 \) — примерно в 9 раз меньше
земной.