Задача 2.6.9кто вас сильнее притягивает
Условие
Найдите силу гравитационного притяжения, действующего на вас со стороны Земли, Луны, Солнца.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Считать удобно не силы, а создаваемые ускорения \(\gamma M/r^2\): для Земли это
просто \(g\), а для Луны и Солнца — те самые числа, что мы уже получали в
задачах 2.6.4 и 2.6.2.
Возьмём массу человека \(m = 70\) кг.
Земля. Это привычный вес:
\[ F_{\text{З}} = mg = 70\cdot 9{,}8 \approx 7\cdot10^{2}\ \text{Н}. \]Солнце. \(\gamma M_{\odot} = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 2\cdot10^{30} = 1{,}33\cdot10^{20}\), расстояние \(1{,}5\cdot10^{11}\) м:
\[ a_{\odot} = \frac{1{,}33\cdot10^{20}}{(1{,}5\cdot10^{11})^2} = 5{,}9\cdot10^{-3}\ \text{м/с}^2,\qquad F_{\odot} = 70\cdot 5{,}9\cdot10^{-3} \approx 0{,}4\ \text{Н}. \]Луна. \(\gamma M_{\text{Л}} = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 7{,}35\cdot10^{22} = 4{,}9\cdot10^{12}\), расстояние \(3{,}85\cdot10^{8}\) м:
\[ a_{\text{Л}} = \frac{4{,}9\cdot10^{12}}{(3{,}85\cdot10^{8})^2} = 3{,}3\cdot10^{-5}\ \text{м/с}^2,\qquad F_{\text{Л}} = 70\cdot 3{,}3\cdot10^{-5} \approx 2\cdot10^{-3}\ \text{Н}. \]Итого примерно \(700\) Н, \(0{,}4\) Н и \(0{,}002\) Н — отношение \(1 : 6\cdot10^{-4} : 3\cdot10^{-6}\).
Проверка. Солнце притягивает нас почти в 200 раз
сильнее Луны — и тем не менее приливы на Земле в основном лунные. Никакого
противоречия: прилив создаёт не сама сила, а её перепад по размеру
Земли, а он пропорционален \(M/r^3\), а не \(M/r^2\). Сравним:
\(M_{\text{Л}}/r_{\text{Л}}^3 = 7{,}35\cdot10^{22}/5{,}7\cdot10^{25}
= 1{,}3\cdot10^{-3}\) против
\(M_{\odot}/r_{\odot}^3 = 2\cdot10^{30}/3{,}4\cdot10^{33} = 5{,}9\cdot10^{-4}\) —
Луна выигрывает примерно вдвое ✓, что и наблюдается.
Ещё проверка: сила от Солнца \(0{,}4\) Н — это как раз \(m\cdot a\), где \(a = 5{,}9\cdot10^{-3}\) м/с² — ускорение орбитального движения Земли, которое мы прикидывали в задаче 2.6.2 ✓. Мы его не чувствуем ровно потому, что падаем вместе с Землёй (задача 2.6.1).
Ещё проверка: сила от Солнца \(0{,}4\) Н — это как раз \(m\cdot a\), где \(a = 5{,}9\cdot10^{-3}\) м/с² — ускорение орбитального движения Земли, которое мы прикидывали в задаче 2.6.2 ✓. Мы его не чувствуем ровно потому, что падаем вместе с Землёй (задача 2.6.1).
Ответ
Для человека массы \(70\) кг: Земля — около \(700\) Н, Солнце — около
\(0{,}4\) Н, Луна — около \(2\) мН.