Задача 2.6.8масса Солнца
Условие
Найдите массу Солнца. Радиус орбиты Земли равен \(1{,}5\cdot10^8\) км, в году содержится примерно \(3{,}14\cdot10^7\) с.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Земля движется по окружности — значит тяготение Солнца целиком идёт на
центростремительное ускорение. Масса самой Земли при этом сократится: она в
уравнение не входит.
Для круговой орбиты
\[ \frac{\gamma M m_{\text{З}}}{R^2} = m_{\text{З}}\,\frac{4\pi^2 R}{T^2} \quad\Longrightarrow\quad M = \frac{4\pi^2 R^3}{\gamma T^2}. \]Считаем: \(R = 1{,}5\cdot10^{11}\) м, \(R^3 = 3{,}375\cdot10^{33}\) м³, \(T = 3{,}14\cdot10^{7}\) с, \(T^2 = 9{,}86\cdot10^{14}\) с².
\[ M = \frac{39{,}5\cdot 3{,}375\cdot10^{33}}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 9{,}86\cdot10^{14}} = \frac{1{,}33\cdot10^{35}}{6{,}58\cdot10^{4}} \approx 2{,}0\cdot10^{30}\ \text{кг}. \]Проверка. Солнце тяжелее Земли в
\(2\cdot10^{30}/6\cdot10^{24} \approx 3\cdot10^{5}\) раз ✓ — известный факт.
Средняя плотность Солнца: \(R_{\odot} = 7\cdot10^{8}\) м, объём
\(1{,}4\cdot10^{27}\) м³, \(\rho \approx 1{,}4\cdot10^{3}\) кг/м³ ✓ — чуть больше
воды, что для газового шара разумно. И полезная деталь: год удобно помнить как
\(\pi\cdot10^{7}\) с — ошибка меньше половины процента ✓.
Ответ
\( M = \dfrac{4\pi^2R^3}{\gamma T^2} \approx 2\cdot10^{30}\ \text{кг} \).