Задача 2.6.7«взвешивание Земли»
Условие
Свой эксперимент по измерению гравитационной постоянной Кавендиш назвал «взвешиванием Земли». Определите массу Земли, если на её поверхности ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с², а радиус Земли \(R = 6370\) км.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
До Кавендиша знали произведение \(\gamma M\) (оно и определяет всё движение у
Земли), но не знали \(\gamma\) отдельно. Измерив \(\gamma\) в лаборатории,
Кавендиш сразу «взвесил» Землю.
У поверхности Земли
\[ mg = \frac{\gamma Mm}{R^2} \quad\Longrightarrow\quad g = \frac{\gamma M}{R^2} \quad\Longrightarrow\quad M = \frac{gR^2}{\gamma}. \]Подставляем \(R = 6{,}37\cdot10^6\) м и \(\gamma = 6{,}67\cdot10^{-11}\):
\[ M = \frac{9{,}8\cdot(6{,}37\cdot10^{6})^2}{6{,}67\cdot10^{-11}} = \frac{9{,}8\cdot 4{,}06\cdot10^{13}}{6{,}67\cdot10^{-11}} \approx 6{,}0\cdot10^{24}\ \text{кг}. \]Проверка. Разделим на объём:
\(\rho = M/\left(\frac43\pi R^3\right) = 6{,}0\cdot10^{24}/(1{,}08\cdot10^{21})
\approx 5{,}5\cdot10^{3}\) кг/м³ ✓ — та самая средняя плотность 5,5 г/см³, вдвое
больше плотности поверхностных пород (задача 2.6.5). Именно так и стало
известно, что у Земли тяжёлое железное ядро ✓. Обратите внимание: сама
величина \(gR^2 = \gamma M \approx 4\cdot10^{14}\) была известна задолго до
Кавендиша — из неё считают орбиты; новым было именно деление на \(\gamma\).
Ответ
\( M = \dfrac{gR^2}{\gamma} \approx 6\cdot10^{24}\ \text{кг} \).