Рассмотрим установку Кавендиша для измерения гравитационной постоянной (так называемые крутильные весы). Лёгкий стержень (коромысло), на концах которого закреплены два одинаковых шара массы \(m\), подвешен на тонкой и длинной нити. К шарам можно приблизить два шара массы \(M\), значительно большей \(m\). Коромысло снабжено зеркальцем, отбрасывающим световой «зайчик» на удалённую шкалу и потому позволяющим измерять очень малые углы поворота коромысла.
Шары массы \(M\) располагают симметрично возле шаров массы \(m\); коромысло поворачивается, нить закручивается. Затем большие шары переводят в новое симметричное положение и измеряют угол поворота коромысла; зная упругие свойства нити, определяют максимальное ускорение лёгких шариков.
Вычислите гравитационную постоянную по данным Кавендиша: расстояние между шарами массы \(m\) и \(M\) равно \(2r = 10\) см, масса тяжёлых шаров \(M = 7{,}0\) кг, максимальное ускорение лёгких шариков \(a = 2{,}8\cdot10^{-7}\) м/с².
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Что происходит с коромыслом. Обозначим \(N\) — момент силы тяготения от больших шаров, \(k\) — жёсткость нити на кручение. В первом положении равновесие: \(k\varphi_1 = N\), то есть \(\varphi_1 = N/k\). После переноса шаров в зеркальное положение новое равновесие — при \(\varphi_2 = -N/k\).
Коромысло стартует из точки \(\varphi_1\), а равновесие теперь в \(\varphi_2\) — то есть оно отклонено от нового равновесия на \(2N/k\). Это крайняя точка крутильных колебаний, и именно там момент (а значит и ускорение) максимален:
\[ N_{\max} = \underbrace{N}_{\text{тяготение}} + \underbrace{k\varphi_1}_{\text{нить}} = 2N. \]Итак, максимальное ускорение шарика вдвое больше чисто гравитационного:
\[ a = 2\,\frac{\gamma M}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\ \gamma = \frac{a\,r^2}{2M}\ } \](здесь \(r\) — расстояние между центрами шаров \(m\) и \(M\)).
Числа. При \(r = 5\) см \(= 0{,}05\) м:
\[ \gamma = \frac{2{,}8\cdot10^{-7}\cdot(0{,}05)^2}{2\cdot 7{,}0} = \frac{7{,}0\cdot10^{-10}}{14} = 5{,}0\cdot10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}. \]Про обозначения. В условии задачника расстояние между шарами \(m\) и \(M\) записано как «\(2r = 10\) см», но в ответе стоит \(\gamma = r^2a/(2M)\), и числовой ответ задачника \(5\cdot10^{-11}\) получается только при \(r = 5\) см. Мы так и считаем: \(r\) — само расстояние между центрами шаров, равное 5 см. (Если подставить 10 см, вышло бы \(2\cdot10^{-10}\) — втрое больше истинного значения, что для опыта Кавендиша слишком грубо.)