Задача 2.6.11тяжесть на Луне
Условие
Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Луны 1700 км. Во сколько раз ускорение свободного падения вблизи лунной поверхности меньше, чем вблизи земной?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
\(g = \gamma M/R^2\): масса работает на уменьшение, а маленький радиус — на
увеличение, и эти два эффекта частично компенсируют друг друга.
Берём отношение:
\[ \frac{g_{\text{Л}}}{g_{\text{З}}} = \frac{M_{\text{Л}}}{M_{\text{З}}}\cdot \left(\frac{R_{\text{З}}}{R_{\text{Л}}}\right)^{\!2} = \frac{1}{81}\cdot\left(\frac{6370}{1700}\right)^{\!2} = \frac{1}{81}\cdot 3{,}75^2 = \frac{14{,}0}{81} \approx 0{,}17. \]Значит
\[ \frac{g_{\text{З}}}{g_{\text{Л}}} \approx \frac{1}{0{,}17} \approx 6. \]Проверка. \(g_{\text{Л}} = 9{,}8/6 \approx 1{,}6\)
м/с² ✓ — известное «лунное» значение. Видно, как работают два множителя: по
массе Луна проигрывает в 81 раз, но выигрывает по радиусу в
\(3{,}75^2 \approx 14\) раз, итого проигрыш в 6 раз ✓. Отсюда и знаменитые
прыжки астронавтов: на Луне можно подпрыгнуть в шесть раз выше при той же
работе ног ✓.
Ответ
В 6 раз (\(g_{\text{Л}} \approx 1{,}6\) м/с²).