Задача 2.6.12радиус орбиты по угловой скорости
Условие
Определите радиус круговой орбиты астероида, если угловая скорость обращения его вокруг Солнца \(\omega\), а масса Солнца \(m_{\odot}\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Единственная сила — тяготение, и она вся идёт на центростремительное
ускорение \(\omega^2R\).
Для астероида массы \(m\):
\[ \frac{\gamma m_{\odot}m}{R^2} = m\,\omega^2 R \quad\Longrightarrow\quad R^3 = \frac{\gamma m_{\odot}}{\omega^2} \quad\Longrightarrow\quad R = \left(\frac{\gamma m_{\odot}}{\omega^2}\right)^{\!1/3}. \]Проверка. Масса астероида выпала — как и должно быть:
все тела на данной орбите движутся одинаково ✓. Формула — это третий закон
Кеплера в другой записи: \(\omega^2R^3 = \gamma m_{\odot} = \text{const}\), то
есть \(T^2 \propto R^3\) ✓. Числовая проверка на Земле:
\(\omega = 2\pi/(3{,}14\cdot10^{7}) = 2\cdot10^{-7}\) с⁻¹,
\(R = (1{,}33\cdot10^{20}/4\cdot10^{-14})^{1/3}
= (3{,}3\cdot10^{33})^{1/3} \approx 1{,}5\cdot10^{11}\) м ✓.
Ответ
\( R = \left(\dfrac{\gamma m_{\odot}}{\omega^2}\right)^{1/3} \).