Задача 2.6.13если бы Земля была как Солнце
Условие
Как изменилась бы продолжительность земного года, если бы масса Земли сравнялась с массой Солнца, а расстояние между ними осталось бы прежним?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Сейчас Земля лёгкая, и Солнце можно считать неподвижным. Если массы сравняются,
оба тела закружатся вокруг общего центра масс, а в формулу периода войдёт
сумма масс (это мы аккуратно выведем в следующей задаче).
Для двойной системы с неизменным расстоянием \(R\)
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{\gamma(m_1+m_2)}}. \]Сейчас \(m_1 + m_2 \approx m_{\odot}\) (масса Земли в 330 000 раз меньше и роли не играет), а стало бы \(2m_{\odot}\). Расстояние то же, значит
\[ \frac{T}{T_0} = \sqrt{\frac{m_{\odot}}{2m_{\odot}}} = \frac{1}{\sqrt2} \approx 0{,}71, \] \[ T \approx 0{,}71\ \text{года} \approx 8{,}5\ \text{месяцев}. \]Проверка. Тяготение выросло вдвое, но и «инертность»
системы выросла вдвое — период сократился именно в \(\sqrt2\) раз, а не вдвое ✓.
Полезная картинка: оба тела ходили бы по одинаковым окружностям радиуса
\(R/2\) вокруг середины отрезка ✓.
Ответ
Год стал бы короче в \(\sqrt2\) раз: \(T \approx 0{,}7\) года.