Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.6. Сила тяготения. Законы Кеплера

Савченко, задача 2.6.14

Задача 2.6.14★ период двойной звезды

Условие

Две звезды массы \(m_1\) и \(m_2\) образуют двойную систему с неизменным расстоянием между звёздами \(R\). Каков период обращения звёзд вокруг общего центра масс?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Центр масс неподвижен, звёзды всё время по разные стороны от него на одной прямой — значит у них одна и та же угловая скорость \(\omega\). Достаточно записать второй закон Ньютона для одной звезды.

Обе звезды обходят центр масс за одно и то же время, оставаясь на одной прямой с ним.

Радиусы орбит. Центр масс делит отрезок обратно пропорционально массам:

\[ r_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2}\,R,\qquad r_2 = \frac{m_1}{m_1+m_2}\,R. \]

Второй закон Ньютона для первой звезды. Сила притяжения ко второй звезде создаёт её центростремительное ускорение \(\omega^2r_1\):

\[ \frac{\gamma m_1m_2}{R^2} = m_1\,\omega^2 r_1 = m_1\,\omega^2\,\frac{m_2R}{m_1+m_2}. \]

Сокращаем \(m_1m_2\):

\[ \frac{\gamma}{R^2} = \frac{\omega^2 R}{m_1+m_2} \quad\Longrightarrow\quad \omega^2 = \frac{\gamma(m_1+m_2)}{R^3}. \]

Отсюда

\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{\gamma(m_1+m_2)}}. \]

Проверка. Если вторая звезда лёгкая \((m_2 \ll m_1)\), получаем \(T = 2\pi\sqrt{R^3/(\gamma m_1)}\) ✓ — обычная формула для спутника. Уравнение для второй звезды дало бы то же самое \(\omega\) (в выкладке массы входили симметрично) ✓ — иначе звёзды не удержались бы на одной прямой. И заметьте: ответ зависит только от суммы масс — по одному лишь периоду и расстоянию разделить массы двойной звезды невозможно ✓ (для этого нужны ещё радиусы \(r_1, r_2\)).

Ответ \( T = 2\pi\sqrt{\dfrac{R^3}{\gamma(m_1+m_2)}} \).

Следующая задача 2.6.15 →