Задача 2.6.15астрономические единицы
Условие
В астрономии часто измеряют расстояние в радиусах земной орбиты, периоды — в земных годах, а массы звёзд — в массах Солнца. Определите суммарную массу двойной системы, если в этих единицах расстояние между звёздами постоянно и равно \(r\), а период их обращения равен \(T\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Формула предыдущей задачи в «человеческих» единицах становится совсем
короткой: все постоянные подобраны так, что для системы «Солнце — Земля»
получается \(1 = 1/1\).
Из задачи 2.6.14
\[ T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{\gamma\,\mu},\qquad \mu \equiv m_1+m_2. \]Запишем то же самое для пары «Солнце — Земля»: там \(r_0\) — радиус земной орбиты, \(T_0\) — год, \(\mu_0 = m_{\odot}\) (масса Земли пренебрежимо мала):
\[ T_0^2 = \frac{4\pi^2 r_0^3}{\gamma\,m_{\odot}}. \]Делим одно на другое — все постоянные уходят:
\[ \left(\frac{T}{T_0}\right)^{\!2} = \left(\frac{r}{r_0}\right)^{\!3}\frac{m_{\odot}}{\mu}. \]А в выбранных единицах \(T/T_0\), \(r/r_0\) и \(\mu/m_{\odot}\) — это как раз числа \(T\), \(r\) и \(\mu\). Значит
\[ T^2 = \frac{r^3}{\mu} \quad\Longrightarrow\quad \mu = \frac{r^3}{T^2}. \]Проверка. Для системы «Солнце — Земля» \(r = 1\),
\(T = 1\), и формула даёт \(\mu = 1\) массу Солнца ✓. Пример: у Сириуса
период обращения пары около \(50\) лет, большая полуось около \(20\) а. е.,
отсюда \(\mu = 20^3/50^2 = 8000/2500 = 3{,}2\) массы Солнца ✓ — и правда,
Сириус A и B вместе весят примерно столько.
Ответ
\( m_1+m_2 = \dfrac{r^3}{T^2} \) (в массах Солнца).